Enunciado

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:

f x ,   y = a r c t g y x ; P 0 ( - 1 ,   1 )

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então vamos começar o trabalho calculando as derivadas parciais. Como a função é só de x e y , não precisamos nos preocupar com o z .

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = a r c t g y x

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:

∂ f ∂ x = 1 1 + y x 2 × - y x 2 = - y x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 1 1 + y x 2 × 1 x = x x 2 + y 2

Assim,

∇ f → = - y x 2 + y 2   i → + x x 2 + y 2 j →

Passo 3

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto P 0 na expressão e calcular o módulo, e aí acabou.

∇ f → P 0 = ∇ f → - 1 ,   1 = - 1 - 1 2 + 1 2 i → + - 1 - 1 2 + 1 2 j →

∇ f → P 0 = - 1 2 i → - 1 2 j →

O valor do gradiente nesse ponto é:

∇ f → P 0 = - 1 2 2 + - 1 2 2 = 2 4

∇ f → P 0 = 2 2

Esse é o módulo máximo da derivada direcional!

Resposta

2 2

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →