Calcular a integral indefinida.

∫ d x 3 + s e n   2 x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Nesse caso, antes de fazer essa substituição, vamos fazer a seguinte:

u = 2 x

d u = 2 d x

Passo 2

Com a primeira substituição, fica assim:

∫ d u 2 3 + s e n   u

E agora a gente faz t = t g u 2 …

1 2 ∫ 2 d t 1 + t 2 3 + 2 t 1 + t 2

= 1 2 ∫ 2 d t 1 + t 2 3 + 3 t 2 + 1 + t 2 1 + t 2

= ∫ d t 3 t 2 + 2 t + 3  

(completamos o quadrado)

= 1 3 ∫ d t t + 1 3 2 + 8 9

Passo 3

Aí agora integrando, a gente fica com:

1 3 ∙ 3 8 a r c t g t + 1 3 8 3 + C

= 1 8 a r c t g   3 t + 1 8 + C

Passo 4

Vamos voltar pra variável u agora...

= 1 8 a r c t g 3 t g u 2 + 1 8 + C

E por fim voltamos para x ...

= 1 8 a r c t g   3 t g x + 1 8 + C

Ufaaa!! Agora acabou😉

Resposta

1 8 a r c t g   3 t g x + 1 8 + C

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