Encontrar o comprimento da curva dada.

y = (1 / 3) \* (2 + x^2)^(3/2), 0 <= x <= 3

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y ' = 1 3 ∙ 3 2 2 + x 2 1 2 ∙ 2 x

y ' = x 2 + x 2 1 2

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = ∫ 0 3 1 + x 2 + x 2 1 2 2   d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L =   ∫ 0 3 1 + x 2 2 + x 2   d x

L = ∫ 0 3 1 + 2 x 2 + x 4   d x

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 2   d x

L = ∫ 0 3 x 2 + 1   d x

L = x 3 3 + x 0 3

L = 27 3 + 3 = 12

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = 12

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