Calcular a integral indefinida.

∫ 1 - 1 + x + x 2   d x 2 x 2 1 + x + x 2

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

1 + x + x 2 = x 2 + t = x + t

Vamos desenvolver:

1 + x + x 2 = x + t 2

1 + x + x 2 = x 2 + 2 x t + t 2

1 + x = 2 x t + t 2

x 1 - 2 t = t 2 - 1

x = t 2 - 1 1 - 2 t

E aí o d x fica:

d x = - 2 t 2 + 2 t - 2 1 - 2 t 2 d t

Passo 2

Pra substituir na integral, a gente precisa de:

x 2 = t 2 - 1 2 1 - 2 t 2

A raiz que vai ser:

1 + x + x 2 = - t 2 + t - 1 1 - 2 t

Aí então vai ficar:

∫ 1 - - t 2 + t - 1 1 - 2 t - 2 t 2 + 2 t - 2 1 - 2 t 2 d t 2 t 2 - 1 2 1 - 2 t 2 - t 2 + t - 1 1 - 2 t

Olhando assim assusta né?! Mas calma, vamos desenvolver e simplificar...

Passo 3

∫ 1 - 2 t + t 2 - t + 1 1 - 2 t - 2 t 2 + 2 t - 2 1 - 2 t 2 d t 2 t 2 - 1 2 - t 2 + t - 1 1 - 2 t 2 1 - 2 t

= ∫ t 2 - 3 t + 2 2 - t 2 + 1 - 1 2 t 2 - 1 2 - t 2 + t - 1 d t

= ∫ t 2 - 3 t + 2 t 2 - 1 2

Já tá bem melhor né? Vamos tentar fatorar isso agora...

= ∫ t - 1 t - 2 t - 1 2 t + 1 2 d t  

= ∫ t - 2 t - 1 t + 1 2 d t

Agora aqui a gente tem que fazer por frações parciais.

Passo 4

A gente tem que achar:

t - 2 t - 1 t + 1 2 = A t - 1 + B t + 1 + C t + 1 2

Aí tiramos os denominadores...

t - 2 = A t + 1 2 + B t - 1 t + 1 + C ( t - 1 )

t - 2 = A t 2 + 2 A t + A + B t 2 - B + C t - C

t - 2 = t 2 A + B + t 2 A + C + A - B - C

Pra isso ser igual, precisamos que:

A + B = 0 2 A + C = 1 A - B - C = 2

Daqui a gente tira que: A = - B ; 2 A = 1 - C , aí substituindo na última temos:

A = - 1 4 ,   B = 1 4 e   C = 3 2

E aí reescrevemos nossa integral como:

∫ - 1 4 t - 1 + 1 4 t + 1 + 3 2 t + 1 2 d t

Passo 5

Agora a gente integra:

- 1 4 ln ⁡ t - 1 + 1 4 t + 1 + 3 2 - 1 t + 1 + C

= 1 4 ln ⁡ t + 1 t - 1 - 3 2 t + 1 + C

Isso aí! Voltamos para a variável x agora (lembrando daquela substituição lá de cima...)

= 1 4 ln ⁡ 1 + x + x 2 - x + 1 1 + x + x 2 - x - 1 - 3 2 1 + x + x 2 - x + 1 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

1 4 ln ⁡ 1 + x + x 2 - x + 1 1 + x + x 2 - x - 1 - 3 2 1 + x + x 2 - x + 1 + C

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