Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

38. ∫ 0 π 4 t g   x . s e c 2 x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 π 4 t g   x . s e c 2 x d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = t g   x

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = s e c 2 x d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 π 4 t g   x . s e c 2 x d x = ∫ 0 π 4 u 1 2 d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, teremos:

∫ 0 π 4 u 1 2 d u = 2 3 u 3 2 π 4 0

∫ 0 π 4 u 1 2 d u = 2 3 t g   x 3 2 π 4 0

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

∫ 0 π 4 u 1 2 d u = 2 3 t g π 4 3 2 - 2 3 t g   0 3 2

∴ ∫ 0 π 4 t g   x . s e c 2 x d x = 2 3

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 π 4 t g   x . s e c 2 x d x = 2 3

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