Calcular a integral indefinida.

∫ d x 1 + s e n   x + cos ⁡ x

Passo 1

Vamos lá, a gente tem aqui uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

∫ 2 d t 1 + t 2 1 + 2 t 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2

Aí a gente simplifica:

∫ 2 d t 2 t + 2 d t

= ∫ d t 1 + t d t

Agora é só integrar...

= ln ⁡ t + 1 + C

Passo 3

Beleza, só falta voltar pra variável x agora...

= ln ⁡ t g x 2 + 1 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

ln ⁡ t g x 2 + 1 + C

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