Calcular a integral indefinida.

∫ 1 + s e n   x s e n   x ( 1 + cos ⁡ x ) d x

Passo 1

Vamos lá, a gente tem aqui uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

∫ 1 + 2 t 1 + t 2 2 d t 1 + t 2 2 1 + t 2 1 + 1 - t 2 1 + t 2

Agora vamos dar uma ajeitadinha...

∫ 1 + t 2 + 2 t 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2 2 t 1 + t 2 ∙ 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2

= ∫ 2 1 + t 2 + 2 t 1 + t 2 2 4 t 1 + t 2 2 d t

= ∫ 2 t + 1 2 4 t d t

1 2 ∫ t + 1 2 t d t

Passo 3

Vamos expandir ali em cima pra simplificar...

1 2 ∫ t 2 + 2 t + 1 t   d t

= 1 2 ∫ t 2 t + 2 t t + 1 t d t

= 1 2 ∫ t + 2 + 1 t d t

Agora a gente integra:

= 1 2 t 2 2 + 2 t + ln ⁡ | t |

= t 2 4 + t + ln ⁡ | t | 2 + C

Passo 4

Ótimo! Agora é só voltar pra variável x que a gente tinha...

= t g 2 x 2 4 + t g   x 2 + ln ⁡ t g   x 2 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

t g 2 x 2 4 + t g   x 2 + ln ⁡ t g   x 2 + C

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