Enunciado

Calcular a massa dos sólidos limitados pelas superfícies dadas, considerando a densidade de massa igual a 4 k g m 3 .

  1. z = x 2 + y 2                                         z = 9 - x 2 - y 2

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza galera, já sabemos que a massa de um sólido pode ser calculada como:

M = ∭ T δ ( x , y , z ) d V

O problema já nos disse que:

δ x , y , z = 4 k g m 3

Então:

M = 4 k g m 3 ∭ T d V

Agora nós só precisamos da integral, e para isso vamos delimitar o z, ok?

Pela figura nós vemos que o z vai do cone até a esfera:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 9 - x 2 - y 2

Em coordenadas cilíndricas:

x 2 + y 2 = r 2

Então:

r ≤ z ≤ 9 - r 2

O raio será delimitado pelo encontro das figuras, concordam?

Então:

r = 9 - r 2

r 2 = 9 - r 2

r 2 = 9 2

r = ± 3 2

E o intervalo será:

0 ≤ r ≤ 3 2

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 ∫ r 9 - r 2 d z r . d r d θ

Resolvendo:

∫ r 9 - r 2 d z = z = 9 - r 2 - r

Na integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 9 - r 2 - r r . d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 9 - r 2 - r 2 . d r d θ

Sendo assim:

= ∫ 0 3 2 r 9 - r 2 - r 2 . d r

= ∫ 0 3 2 r 9 - r 2 . d r - ∫ 0 3 2 r 2 . d r

= ∫ 0 3 2 r 9 - r 2 . d r - r 3 3

Para resolver esta integral vamos chamar:

u = 9 - r 2

d u = - 2 r d r →   - d u 2 = r d r

Na integral:

= ∫ 0 3 2 u 1 2 . - d u 2 - r 3 3

= - 1 2 ∫ 0 3 2 u 1 2 . d u - r 3 3

= - 1 2 u 3 2 3 2 - r 3 3

De volta ao r:

= - 1 3 ( 9 - r 2 ) 3 2 - r 3 3

Aplicando o intervalo:

= - 1 3 9 - 3 2 2 3 2 - 9 - 0 2 3 2 - 1 3 3 2 3 - 0 3

= - 1 3 27 2 2 - 27 - 1 3 27 2 2

= 9 - 9 2 2 - 9 2 2

= 18 2 - 18 2 2 = 9 ( 2 - 1 ) 2

Racionalizando:

= 9 ( 2 - 2 ) 2

Resolvendo a última integral:

= ∫ 0 2 π 9 ( 2 - 2 ) 2 d θ

= 9 ( 2 - 2 ) 2 × θ

No intervalo:

= 9 ( 2 - 2 ) 2 × 2 π

= 9 π ( 2 - 2 )

Substituindo o resultado da nossa integral na massa:

M = 4 k g m 3 × 9 π 2 - 2 m 3

M = 36 π 2 - 2   k g

O que acharam desta?

Resposta

36 π 2 - 2

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Determine o centro de massa do tetraedro sólido com vértices ( 0 ,0 ,0 ) ,( 1 ,0 ,0 ) ,( 0 ,2 ,0 ) ,( 0 ,0 ,3 ) e função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao plano y de uma placa fina delimitada pelo eixo x, pelas retas x = ± 1 , e pela parábola y = x 2 se d e l t a x , y = 7 y + 1 .
Encontrando o momento de inercia: encontre o momento de inercia em relação ao eixo y de uma folha fina de densidade constante δ = 1 delimitada pelas curvas y = s e n 2 x x 2 e o intervalo π ≤ x ≤ 2 π
Primeiro momento de uma placa infinita: encontre o primeiro momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina de densidade δ x , y = 1 que cobre a rgião infinita sob a curva y = e - x 2 2 no p
Encontrando momentos de inercia: encontre os momentos de inercia em relação aos eixos coordenados de uma placa fina retangular de densidade constante δ delimitada pelas curvas x = 3 e y = 3 no primeir