Enunciado

Determine o centro de massa do tetraedro sólido com vértices ( 0 ,   0 ,   0 ) ,   ( 1 ,   0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   2 ,   0 ) ,   ( 0 ,   0 ,   3 ) e função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

E ai meus queridxs, tudo bem com vocês? Se liguem só, como a questão foi bem direta com relação ao que queria vamos direto para a resolução. Chamemos nosso tetraedro de W , dessa forma a face frontal de W é dada pelo plano

x + y 2 + z 3 = 1   o u   z = 3 - 3 x - 3 y 2

Que cruza a linha do plano x y em y = 2 - 2 x .   Então a massa total será dada por

m = ∫ ∫ ∫ T ρ x , y , z   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x ∫ 0 3 - 3 x - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2   d z   d y   d x = 7 5

Dessa forma, o centro de massa vai ser dado por

x - , y - , z - = m - 1 ⋅   ∫ ∫ ∫ T x ⋅ ρ x , y , z   d V , m - 1 ⋅ ∫ ∫ y ⋅ ∫ T ρ x , y , z   d V , m - 1 ⋅ ∫ ∫ ∫ T z ⋅ ρ x , y , z   d V

x - , y - , z - = 4 21 , 11 21 , 8 7

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

x - , y - , z - = 4 21 , 11 21 , 8 7

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Centro de massa, momento de inercia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa retangular fina delimitada pelas retas x = 0 , x = 20, y = - 1 e y = 1 se δ x ,
Encontrando um centroide: encontre um centroide da região do primeiro quadrante delimitado pelo eixo x, a parábola y 2 = 2 x e a reta x + y = 4 .
Centro de massa, momento de inércia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação aos eixos coordenados e o momento de inercia polar de uma placa triangular fina delimitada pelas retas
Centroide de uma região infinita: encontre o centroide de uma região infinita no primeiro quadrante delimitada pelos eixos e pela curva y = e x . (Utilize integrais improprias nas formula de massa)
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina delimitada pela reta y = 1 e a parábola y = x 2 se a densidade for δ x , y = y + 1 .