Enunciado

21. Calcular ∬ R 1 + x + y d x d y onde R é delimitada pelo triângulo de vértices 1,1 , 1,2   e   2 , - 1 .

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica:

Analisando o gráfico temos os seguintes intervalos de integração:

∫ 1 2 ∫ - 2 x + 3 - 3 x + 5 ( 1 + x + y )   d y   d x

Primeiro iremos integrar em relação a x ,

∫ - 2 x + 3 - 3 x + 5 ( 1 + y + x )   d y =

y + x y + y 2 2 - 2 x + 3 - 3 x + 5 =

- 3 x + 5 + 2 x - 3 + - 3 x 2 + 5 x + 2 x 2 - 3 x + - 3 x + 5 2 2 - - 2 x + 3 2 2

= - x + 2 - x 2 + 2 x + 5 - 3 x 2 2 - 3 - 2 x 2 2

= - x 2 + x + - 3 x + 5 2 2 - - 2 x + 3 2 2 + 2

Passo 2

∫ 1 2 - x 2 + x + - 3 x + 5 2 2 - - 2 x + 3 2 2 + 2   d x =

Vamos separar os valores e resolver um por vez e em seguida somar os valores.

∫ 1 2 - x 2   d x =

- x 3 3 1 2 = - 7 3

∫ 1 2 x   d x =

x 2 2 1 2 = 3 2

∫ 1 2 2   d x =

2 x 1 2 = 2

Passo 3

Das integrais anteriores as duas de segundo grau precisam ser resolvidas pelo método da substituição, assim:

∫ 1 2 - 3 x + 5 2 2   d x =

1 2 ∫ 1 2 - 3 x + 5 2   d x =

Vamos chamar,

u = - 3 x + 5

d u = - 3

Dessa forma, temos:

1 2 ∫ 2 - 1 - u 2 3 d u

- 1 6 u 3 3 2 - 1 =  

= - 1 6   - 1 3 - 8 3

= 1 2

Passo 4

Das integrais anteriores as duas de segundo grau precisam ser resolvidas pelo método da substituição, assim:

- ∫ 1 2 - 2 x + 3 2 2   d x =

- 1 2 ∫ 1 2 - 2 x + 3 2   d x =

Vamos chamar,

u = - 2 x + 3

d u = - 2

Dessa forma, temos:

- 1 2 ∫ 1 - 1 - u 2 2 d u

1 4 u 3 3 1 - 1 =  

= 1 4 - 1 3 - 1 3

= 1 4 ⋅ - 2 3

= - 2 12 = - 1 6

Passo 5

Ao juntar as integrais iniciais, temos:

- 7 3 + 3 2 + 1 2 - 1 6 + 2 =

= 3 2

Resposta

3 2

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Mostrar que as regiões R 1eR 2 , têm a mesma área
Calcular a área região delimitada pela curva x 2 3 + y 2 3 = 1
Calcular a área da região do 1º quadrante delimitada pelas curvas y 2 = 8 a x , x + y = 6 a , y = 0 , sendo a uma constante positiva.
Calcular a área da elipse x 2 + 4 y 2 - 4 x = 0 .
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.