Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

Tem-se também:

- 1 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ - 1 1 ∫ 0 y = x + 2 y d y d x

F = ∫ - 1 1 y 2 2 | y = x + 2 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ - 1 1 x + 2 2 2 d x = ∫ - 1 1 x 2 + 4 x + 4 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = 1 2 x 3 3 + 2 x 2 + 4 x | 1 - 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 2 1 3 + 2 + 4 - - 1 3 + 2 - 4

F = 1 2 2 3 + 8 = 13 3

Resposta

13 3

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