Enunciado

5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:

a) circunferência de centro em (4,4) e raio 2, no sentido anti-horário;

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y x 2 + y 2

f 2 = - x x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 , então é conservativo.

Passo 2

Como C está contida em um domínio simplesmente conexo que não contém a origem (C é uma circunferência que tem o centro em (4,4) e tem raio 2, ou seja, não contém o ponto (0,0)), podemos usar o Teorema 9.5.5

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

Resposta

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

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Determine o campo do vetor gradiente ∇ f de f e o desenhe. f x , y = x y - 2 x
Determine o campo do vetor gradiente ∇ f de f e o desenhe. f x , y = 1 4 x + y 2
Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas. f x , y = x 2 - y 2
Determinar r o tf → sendo: f → = 2 x 2 yi → + 3 x zj → - yk →
Sejam f → = ( x z ,z y ,x y ) e g → = x 2 ,y 2 ,z 2 . Determinar: ∇ × g →