Enunciado

Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 = 4 e y^2 + z^2 = 4 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por:

y^2 + z^2 = 4

z^2 = 4 - y^2

z = +- sqrt(4 - y^2)

Já o x nós teremos:

y^2 + x^2 = 4

x^2 = 4 - y^2

x = +- sqrt(4 - y^2)

Obrigatoriamente:

4 - y^2 >= 0

y <= +- 2

Que nos dá:

- 2 <= y <= 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() d V = ∬_R^() [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) d z] d x d y

Resolvendo:

int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) d z = z = 2 sqrt(4 - y^2)

Sendo assim:

= ∬_R^() ( 2 sqrt(4 - y^2) ) d x d y

= 2 int_(- 2)^2 [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) sqrt(4 - y^2) d x] d y

Resolvendo a integral:

= 2 int_(- 2)^2 [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) sqrt(4 - y^2) d x] d y = 2 int_(- 2)^2 sqrt(4 - y^2) [int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) d x] d y

Sabendo que:

int_(- sqrt(4 - y^2))^(sqrt(4 - y^2)) d x = 2 sqrt(4 - y^2)

Então:

= 4 int_(- 2)^2 ( 4 - y^2 ) d y

= 4 [4 y - (y^3)/(3)] = 4 [4 ( 2 - ( - 2 ) ) - (2^3 - (- 2)^3)/(3)]

= 4 [16 - (16)/(3)] = (128)/(3)

O que acharam desta?

Resposta

(128)/(3)

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Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é a região interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 e à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é delimitada por x 2 + y 2 = 1 ,x 2 + y 2 = 4 ,x 2 + y 2 + z 2 = 9 e z = 0
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 0 e z = 4 - x 2 - y 2 , interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Calcular ∭ T ( x - 2 y ) . d V , onde T é a região limitada por ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 1 , z = 0 e z = x + y .