Calcular

I =   ∫ ∫ S 1 x   d S  

Onde S é a superfície

r(u, v) = u i→ + v j→ + (v + 1) k→

1 <= u <= 2

-1 <= v <= 1

Passo 1

Então a primeira coisa que vamos fazer é lembrar como é a estrutura da nossa integral

∫ ∫ S F ( x , y , z )   d S =     ∫ ∫ R F ( r u , v ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v    

Beleza! Feito isso, precisamos apenas parametrizar nossa função escalar e achar ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v

Vamos pelo mais fácil primeiro. Nossa parametrização é

r     u , v   = u i → + v   j → + v + 1 k →

Ou seja uma maneira de ver isso é

r     u , v   = u , v , v + 1

Logo nessa região

x = u

E como nossa função é 1 / x temos que

1 x = 1 u

Passo 2

Agora a parte de arregaçar as mangas. Vamos calcular ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v , onde r é r     u , v   = u , v , v + 1

Assim derivando parcialmente temos que

r u = ( 1,0 , 0 )

r v = ( 0,1 , 1 )

Logo o rotacional é

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v =   x → y → z → 1   0 0 0 1 1

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v = 0,0 , 1 → 1

Olha só que maravilha ! Essa integral vai ficar tranquilinha

Passo 3

∫ ∫ S F ( x , y , z )   d S =     ∫ ∫ R F ( r u , v ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v    

= ∫ ∫ R 1 u * 1   d u d v    

= v ln ⁡ u

Vamos calcular os intervalos

1 ≤ u ≤ 2

- 1 ≤ v ≤ 1

v - 1 1 * ln ⁡ u 1 2

= 2   ( ln ⁡ 2   - ln ⁡ 1 )

= 2 ln ⁡ 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

I =   ∫ ∫ S 1 x   d S = 2 ln ⁡ 2

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