Enunciado

Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :

a) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2

Passo 1

A proposição 3.3 . 6 diz que se lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y = 0 e g ( x , y ) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em ( x 0 , y 0 ) , então

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y ⋅ g ( x , y ) = 0

Passo 2

Queremos então provar que lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2 = 0 , para isso vamos separar em duas funções, uma f ( x , y ) e uma g ( x , y ) , onde provaremos que a lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que a g ( x , y ) é limitada.

Vamos considerar f x , y = x + y e g x , y = x y x 2 + y 2

Passo 3

Primeiro calculamos o limite de f ( x , y ) , assim temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x + y = 0 + 0 = 0

Passo 4

Agora temos que provar que g x , y é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:

x y x 2 + y 2 = x y x 2 + y 2

Podemos dizer que:

x ≤ x 2 + y 2

e

y ≤ x 2 + y 2

Com isso podemos fazer a seguinte inequação:

x y x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 x 2 + y 2

x y x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 2 x 2 + y 2

x y x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

x y x 2 + y 2 ≤ 1

Dessa forma provamos que a g x , y é uma função limitada.

Passo 5

Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que g x , y é limitada, assim pela proposição 3.3 . 6

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2 = 0

Resposta

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Provar a propriedade b da proposição 3.3 . 2 .
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: b) f x ,y = x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 ;P ( 0 ,1 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: e) f x ,y = x 3 + y 3 x 3 - y 3 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )