Enunciado

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,   y tende ao ponto indicado:

e) f x ,   y = x 3 + y 3 x 3 - y 3 ;   P ( 0 ,   0 )

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ x 3 + y 3 x 3 - y 3 = lim x → 0 y = 0 ⁡ x 3 + 0 3 x 3 - 0 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 0 ⁡ x 3 + y 3 x 3 - y 3 = lim x = 0 y → 0 ⁡ 0 3 + y 3 0 3 - y 3 = lim y → 0 ⁡ y 3 - y 3 = lim y → 0 ⁡ - 1 = - 1

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x - 1 x 2 y 2 + x y - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:e) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ 1 x + y - 10
Provar a propriedade b da proposição 3.3 . 2 .