Calcule ∫ γ F → ⋅ d r → , onde F(x, y) = (x + y^2)j e gamma é a curva do Exercício 1.

Passo 1

A curva do Exercício 1 é dada por

Tomando as parametrizações que utilizamos no exercício 1, temos

Vamos fazer assim

A curva superior γ 1

γ 1 t = t , 1 , 1 ≥ t ≥ - 1

A curva a esquerda γ 2

γ 2 t = - 1 , t ,   1 ≥ t ≥ - 1

A curva inferior γ 3

γ 3 t = t , - 1 , - 1 ≤ t ≤ 1

A curva a direita γ 4

γ 4 t = 1 , t ,   - 1 ≤ t ≤ 1

E é com esses valores que vamos resolver nosso problema.

Passo 2

Vamos fazer por partes.

Para γ 1

F → ⋅ d r → = 0 , t + 1 ⋅ d t , 0 = 0

Para γ 2

F → ⋅ d r → = 0 , - 1 + t 2 ⋅ 0 , d t = t 2 - 1 d t

Para γ 3

F → ⋅ d r → = 0 , t + - 1 2 ⋅ d t , 0 = 0

Para γ 4

F → ⋅ d r → = 0,1 + t 2 ⋅ 0 , d t = t 2 + 1 d t

Passo 3

Assim podemos reescrever a integral como

∫ - 1 1 - t 2 - 1 + t 2 + 1 d t = ∫ - 1 1 2 d t = 2 1 - - 1 = 4

O primeiro termo trocamos a ordem no intervalo pra escreve-lo em uma única integral. O sinal de negativo vem exatamente pois

∫ a b d x =   - ∫ b a d x

Resposta

4

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