Enunciado

Seja γ 1 : a , b → R 2 uma curva de classe C 1 e seja f x , y um campo escalar contínuo na imagem de γ 1 . Seja γ 2 : a , b → R 2 dada por

γ 2 t = γ 1 a + b - t

Prove que

∫ γ 1 f x , y d s = ∫ γ 2 f x , y d s

Passo 1

Vamos inicialmente descrever o Teorema que nos é incumbino nesta seção.

Teorema: Seja F → um campo vetorial contínuo no aberto Ω ⊂ R n e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω , duas curvas de classe C 1

a) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

b) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

Assim vamos tentar usar de alguma forma nosso teorema.

Passo 2

Assim como sugerido no nosso enunciado, temos que γ 1 : a , b → Ω . Deste caso, temos que como γ 2 ( t ) é uma parametrização de γ 1 a + b - t

Observe que, quando t = a → γ 2 a = γ b e t = b → γ 2 b = γ 1 a . Assim temos que γ 2 t é uma parametrização reversa da parametrização reversa de γ 1 t , ou seja, ao final temos que γ 2 t é uma função que mantem a orientação de γ 1 t . Neste caso temos que

∫ γ 1 f x , y d s = ∫ γ 2 f x , y d s

Resposta

4 5 1,1 , 1

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