Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 6.6 - Ex. 1b

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar f ( x ,   y ) no ponto indicado e na direção v → = i → + j → .

b) f x ,   y = 2 x + y em P - 1 ,   2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( 1 ,   1 )

E | v → | é dado por:

v → = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo:

b → = ( 1 ,   1 ) 2 = 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 2   e   M N - = 1 2 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 2  

  Q R - = s 2

Então, as coordenadas do ponto Q na direção x será o comprimento que acabamos de achar ( P R - ) menos a coordenada do ponto P. E agora na direção y será o comprimento ( Q R - ) mais a coordenada do ponto P.

Sendo assim, as coordenadas de Q serão s 2 - 1 ,   s 2 + 2 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 - f ( - 1,2 ) s

Se a função é dada por f x ,   y = 2 x + y :

f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 = 2 s 2 - 1 + s 2 + 2 = 2 s 2 - 2 + s 2 + 2

f s 2 - 1 ,   s 2 + 2 = 3 s 2

E:

f - 1 ,   2 = 2 ( - 1 ) + 2 = 0

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ 3 s 2 - 0 s

= lim s → 0 ⁡ 3 2

Resolvendo o limite:

∂ f ∂ s P = 3 2

Racionalizando:

∂ f ∂ s P = 3 2 2

Finalizamos galeraa!

Agora faremos igualzinho na letra (c).

Resposta

∂ f ∂ s P = 3 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in

Ver Mais

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica

Ver Mais

Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Ver Mais

1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3

Ver Mais

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios

Ver Mais