Enunciado

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Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:

59) z = x 2 + y 2 ;   x + y = 1

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo ou mínimo, mas sabendo que x + y = 1 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   x + y = 1

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                                     x 2 + y 2

s . a .                                                   x + y = 1

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + y 2 - λ ( x + y - 1 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 x - λ = 0

∂ L ∂ y = 2 y - λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( x + y - 1 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y

Colocando na última equação:

x + y - 1 = 0

2 x = 1

x = 1 2

Substituindo no x:

x = y = 1 2  

Então nós teremos um ponto:

1 2 , 1 2  

Passo 3

Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, basta olharmos função:

z = x 2 + y 2

Se desenharmos vamos obter um paraboloide com a concavidade voltada para cima, então o ponto 1 2 , 1 2 será mínimo!

Boazinha essa !!

Resposta

1 2 , 1 2 → M í n i m o

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