Enunciado

Calcular o volume da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 1 e z = 2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Então, o que faremos?

Vamos calcular o volume da semiesfera de 1 até o topo e subtrair do volume da semiesfera que vai de 2 até o topo

Em coordenadas esféricas:

z 2 = 9 - r 2

z = 9 - r 2

O raio é delimitado pelos valores de z. Quando z = 1 :

r 2 + 1 = 9

r = ± 2 2

O maior raio é obtido quando z = 2 :

r 2 + 4 = 9

r = ± 5

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ 1 9 - r 2 d z r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ∫ 2 9 - r 2 d z r d r d θ

Resolvendo a primeira integral:

∫ 1 9 - r 2 d z = z = 9 - r 2 - 1

Sendo assim:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 9 - r 2 - 1 r d r d θ

Vamos primeiro resolver a integral e depois aplicar os intervalos para cada uma separadamente:

∫ 0 2 2 9 - r 2 - 1 r d r = ∫ 0 2 2 9 - r 2 r d r - ∫ 0 2 2 1 r d r

= ∫ 0 2 2 9 - r 2 r d r - r 2 2

Agora vamos chamar:

u = 9 - r 2

d u = - 2 r d r →   - d u 2 = r . d r

= ∫ u 1 2 - d u 2 - r 2 2

= - 1 2 ∫ u 1 2 d u - r 2 2

= - 1 3 u 3 2 - r 2 2

De volta ao r:

= - 1 3 ( 9 - r 2 ) 3 2 - r 2 2

Aplicando o intervalo:

= - 1 3 [ 9 - 8 3 2 - 9 3 2 ] -   8 2

= - 1 3 1 - 27 -   4 = 14 3

Agora vamos lançar na integral:

= ∫ 0 2 π 14 3 d θ = 14 3 × 2 π

Então:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ 1 9 - r 2 d z r d r d θ = 28 π 3

Passo 3

A próxima integral é:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 9 - r 2 - 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 9 - r 2 - 2 r d r d θ

De maneira similar ao anterior:

∫ 0 5 r 9 - r 2 - 2 r d r = - 1 3 ( 9 - r 2 ) 3 2 - r 2

= - 1 3 9 - 5 3 2 - 9 3 2 - 5

= - 1 3 8 - 27 - 5 = 4 3

Agora vamos lançar na integral:

= ∫ 0 2 π 4 3 d θ = 4 3 × 2 π

Então:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 ∫ 2 9 - r 2 d z r d r d θ = 8 π 3

Se o volume da nossa figura é:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ∫ 1 9 - r 2 d z r d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ∫ 2 9 - r 2 d z r d r d θ

Substituindo pelos resultados:

= 2 8 π 3 - 8 π 3 = 20 π 3

O que acharam desta??

Resposta

20 π 3

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