Enunciado

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

18. x + y + z = 4 ; x = 1 , y = 2   e os planos coordenados.

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Beleza galera !!

Pelo desenho conseguimos ver que o z é limitado pelo plano coordenado, z = 0 , e pelo plano x + y + z = 4 , ok ?!

0 ≤ z ≤ 4 - x - y

O x e o y são delimitados pelos planos coordenados , então:

0 ≤ y ≤ 2

E:

0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x - y d z d y d x

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 4 - x - y d z = z = 4 - x - y

Então:

∫ 0 1 ∫ 0 2 4 - x - y d y d x

Agora vamos para a segunda:

∫ 0 2 4 - x - y d y = 4 y - x y - y 2 2

= 8 - 2 x - 2 2 2

= 6 - 2 x

Passo 3

Colocando na última:

∫ 0 1 ( 6 - 2 x ) d x = 6 x - 2 x 2 2

= 6 x - x 2

Aplicando o intervalo:

= 6 - 1 2

= 5

Essa foi fácil, não foi?!

Resposta

5

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Calcular o volume do sólido delimitado por x 2 + y 2 = 4 , z = 0 e 4 x + 2 y + z = 16 .
Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos y = 0 ,z = 0 ,x + y = 4 e pelo cilindro parabólico z = 1 - x 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 16 .
Calcular o volume do sólido acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy e interior às superfícies z = 9 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 1 .