Calcule lim (h, k) → (0,0) [(f(x+h, y+k) - f(x, y) - 2xh - k) / √(h^2 + k^2)] , onde f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Vamos aplicar a definição,

l i m h , k → 0,0 f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h , k = l i m h , k → 0,0 x + h 2 + y + k - x 2 + y - 2 x h - k k 2 + h 2 1 2

Abrindo as contas

l i m h , k → 0,0 x + h 2 + y + k - x 2 + y - 2 x h - k k 2 + h 2 1 2 = l i m h , k → 0,0 x 2 + 2 x h + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k k 2 + h 2 1 2

Cancelando os termos com sinal trocado

l i m h , k → 0,0 x 2 + 2 x h + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k k 2 + h 2 1 2 = l i m h , k → 0,0 h 2 k 2 + h 2 1 2

Pela questão 1   c ) ,

l i m h , k → 0,0 h 2 k 2 + h 2 1 2 = 0  

Resposta

l i m h , k → 0,0 f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h , k = 0  

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