1.

Descreva as superfícies de nível da função abaixo.

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1

Resolução
2.

Descreva e esboce as superfícies de nível de f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 .

Resolução
3.

Na figura estão representadas superfícies de nível da função g x , y , z . Escreva uma expressão adequada para g .

Resolução
4.

De acordo com a lei de gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa m 0 está na origem 0,0 , 0 de um sistema de coordenadas x y z , então o módulo F da força exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto x , y , z é dada por

F = G . m 0 . m x 2 + y 2 + z 2

Onde G é a constante de gravitação universal. F depende de quantas variáveis? Se m 0 = 1,99.10 30 k g e m = 5,98.10 24   k g , descreva as superfícies de nível da função resultante.

Resolução
5.

Seja

f x , y , z = x 2 + y 2 - z

Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto

a) 1 , - 2 ,   0

b) 1 ,   0 ,   3

c) 0 ,   0 ,   0

Resolução
13.

As superfícies de nível da função

w = f x , y , z = z - x 2 - y ²

Associadas aos níveis w = - 2 w = 0 e w = 2 podem se cortar? Justifique sua resposta!

Resolução
14.

Resolva as questões abaixo:

  1. Considere a função w = f x = x 2 . Determine os conjuntos de nível de f e represente-os geometricamente no sistema de coordenadas adequado (reta, plano ou espaço tridimensional).
  2. Considere a função w = g x , y = x 2 . Determine as curvas de nível de g e represente-os geometricamente no sistema de coordenadas adequado (reta, plano ou espaço tridimensional).
  3. Considere a função w = h x , y , z = x ² . Determine as superfícies de nível de h .
  4. Suponha que você chegue em uma sala de aula onde a única sentença escrita no quadro é “Faça um esboço do gráfico da função w = x ² !”. Que desenho você faria?
Resolução
16.

De acordo com a lei de gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa m 0 está na origem 0,0 , 0 de um sistema de coordenadas x y z , então o módulo F da força exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto x , y , z é dada por

F = G . m 0 . m x 2 + y 2 + z 2

Onde G é a constante de gravitação universal. F depende de quantas variáveis? Se m 0 = 1,99.10 30 k g e m = 5,98.10 24   k g , descreva as superfícies de nível da função resultante.

Resolução
17.

Considere a região do espaço

W = x , y , z ∈ R 3 z 4 ≥ x 2 + y 2   ,   1 < z < 2

  1. Esboce hachurando A = W ∩ x , y , z ∈ R 3 z = 3 2
  2. Esboce hachurando B = W ∩ x , y , z ∈ R 3 x = 0   ,   y ≥ 0
Resolução

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