Enunciado

Determine a solução do problema

overset(¨)(x) + 6 overset(˙)(x) + 9 x = e^(- 3 t) , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 1

Passo 1

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 6 overset(˙)(x) + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 6 r e^(r t) + 9 e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 6 r + 9) = 0

r^2 + 6 r + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada, temos um quadrado perfeito

r^2 + 6 r + 9 = 0

(r + 3)^2 = 0

r_1 = r_2 = - 3

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A e^(- 3 t) + B t e^(- 3 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é e^(- 3 t) .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara, mas temos que o coeficiente de t na nossa exponencial é raiz dupla solução homogênea então

y_p (t) = a t^2 e^(- 3 t)

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = 2 a t e^(- 3 t) - 3 a t^2 e^(- 3 t) = (2 a t - 3 a t^2) e^(- 3 t)

x_p^(' ') (t) = (2 a - 6 a t) e^(- 3 t) - 3 (2 a t - 3 a t^2) e^(- 3 t) = (2 a - 12 a t + 9 a t^2) e^(- 3 t)

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 6 overset(˙)(x) + 9 x = e^(- 3 t)

(2 a - 12 a t + 9 a t^2) e^(- 3 t) + 6 (2 a t - 3 a t^2) e^(- 3 t) + 9 a t^2 e^(- 3 t) = e^(- 3 t)

(2 a) e^(- 3 t) = e^(- 3 t)

Então

2 a = 1

a = (1)/(2)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (1)/(2) t^2 e^(- 3 t)

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A e^(- 3 t) + B t e^(- 3 t) + (1)/(2) t^2 e^(- 3 t)

Com A , B in R .

Passo 4

Temos então as condições x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 1 , substituindo primeiro t = 0 na equação

x (t) = A e^(- 3 t) + B t e^(- 3 t) + (1)/(2) t^2 e^(- 3 t)

x (0) = A e^0 = 0

A = 0

Derivando agora

x^' (t) = - 3 A e^(- 3 t) + B e^(- 3 t) - 3 B t e^(- 3 t) + t e^(- 3 t) - (3)/(2) t^2 e^(- 3 t)

Substituindo t = 0

x^' (0) = B e^0 = 1

B = 1

E temos

x (t) = t e^(- 3 t) + (1)/(2) t^2 e^(- 3 t)

Resposta

x (t) = t e^(- 3 t) + (1)/(2) t^2 e^(- 3 t)

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