Determine a solução do problema

x¨ + 6x˙ + 9x = e^(-3t), x(0) = 0 e x˙(0) = 1

Passo 1

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

x t = x h t + x p t

onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + 6 x ˙ + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + 6 r e r t + 9 e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + 6 r + 9 = 0

r 2 + 6 r + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada, temos um quadrado perfeito

r 2 + 6 r + 9 = 0

r + 3 2 = 0

r 1 = r 2 = - 3

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A e - 3 t + B t e - 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é e - 3 t .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara, mas temos que o coeficiente de t na nossa exponencial é raiz dupla solução homogênea então

y p t = a t 2 e - 3 t

Calculando as derivadas

x p ' t = 2 a t e - 3 t - 3 a t 2 e - 3 t = 2 a t - 3 a t 2 e - 3 t

x p ' ' t = 2 a - 6 a t e - 3 t - 3 2 a t - 3 a t 2 e - 3 t = 2 a - 12 a t + 9 a t 2 e - 3 t

Substituindo então na equação

x ¨ + 6 x ˙ + 9 x = e - 3 t

2 a - 12 a t + 9 a t 2 e - 3 t + 6 2 a t - 3 a t 2 e - 3 t + 9 a t 2 e - 3 t = e - 3 t

2 a e - 3 t = e - 3 t

Então

2 a = 1

a = 1 2

E a solução particular é dada por

x p t = 1 2 t 2 e - 3 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A e - 3 t + B t e - 3 t + 1 2 t 2 e - 3 t

Com A , B ∈ R .

Passo 4

Temos então as condições x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 1 , substituindo primeiro t = 0 na equação

x t = A e - 3 t + B t e - 3 t + 1 2 t 2 e - 3 t

x 0 = A e 0 = 0

A = 0

Derivando agora

x ' t = - 3 A e - 3 t + B e - 3 t - 3 B t e - 3 t + t e - 3 t - 3 2 t 2 e - 3 t

Substituindo t = 0

x ' 0 = B e 0 = 1

B = 1

E temos

x t = t e - 3 t + 1 2 t 2 e - 3 t

Resposta

x t = t e - 3 t + 1 2 t 2 e - 3 t

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