6. Calcule

i ) ∫ ( 5 + s e n   3 x ) 2 d x

Passo 1

Primeiro, precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

∫ ( 5 + s e n   3 x ) 2 d x = ∫ 5 2 + 2 * 5 * sin ⁡ 3 x + sin 2 ⁡ 3 x d x =  

∫ 25 + 10 sin ⁡ 3 x + sin 2 ⁡ 3 x   d x  

Passo 2

Sabemos que pela identidade trigonométrica que sin 2 ⁡ α = 1 2 - cos ⁡ 2 a 2 . Então,

∫ 25 + 10 sin ⁡ 3 x + sin 2 ⁡ 3 x   d x = ∫ 25 + 10 sin ⁡ 3 x + 1 2 - cos ⁡ ( 2 * 3 x ) 2   d x =  

∫ 25 + 10 sin ⁡ 3 x + 1 2 - cos ⁡ 6 x 2   d x =   ∫ 51 2 + 10 sin ⁡ 3 x - cos ⁡ 6 x 2   d x

Passo 3

É necessário lembrar que   ∫ c   d x = c x + k   , ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k

e ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k . Sendo c ,   a e k constantes.

∫ 51 2 + 10 sin ⁡ 3 x - cos ⁡ 6 x 2   d x = 51 2 x - 10 3 c o s 3 x - 1 6 * 1 2 sin ⁡ 6 x + k =

51 2 x - 10 3 cos ⁡ 3 x - 1 12 sin ⁡ 6 x + k

Resposta

Portanto, temos que

∫ ( 5 + s e n   3 x ) 2 d x =   51 2 x - 10 3 cos ⁡ 3 x - 1 12 sin ⁡ 6 x + k

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