10. Calcule

a)

∫ t g x d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ t g x d x

Como t g x = s e n ( x ) / cos ⁡ x   :

I = ∫ s e n x cos ⁡ x d x

Passo 2

A ideia aqui vai ser fazer uma substituição de variável, vamos chamar o denominador de u . Olha só:

u = cos ⁡ x

Derivando,

d u = - s e n x d x

Nossa integral era:

I = ∫ s e n x cos ⁡ x d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ - d u u = - ∫ d u u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + k

Passo 3

Integrando, temos:

I = - ln ⁡ u + k

Voltando para variável x :

u = cos ⁡ x

Portanto,

I = - ln ⁡ cos ⁡ x + k

Resposta

∫ t g x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + k

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