8. Calcule

m )   ∫ 1 x 2 + 4 x + 8 d x

Passo 1

Podemos arrumar o denominador para chegar em algo que conhecemos, primeiro precisamos lembrar do produto notável a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 . Podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x , temos que o único valor de b que poderá resultar no termo 4 x é b = 2 . Ou seja,

Como x + 2 2 = x 2 + 2 x + 4 , temos que sobra 4 no denominador

∫ 1 x 2 + 4 x + 8 d x =   ∫ 1 x 2 + 2 x + 4 + 4 d x =   ∫ 1 x + 2 2 + 4 d x = ∫ 1 4 + x + 2 2 d x    

Passo 2

Vemos que essa integral é parecida com ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k . Podemos arrumar a integral que temos de forma a fica ainda mais parecida com a pontuada. Para isso, fazemos

u = x + 2 ⇒ d u = d x

Substituindo na integral

∫ 1 4 + x + 2 2 d x =   ∫ 1 2 2 + u 2 d x =   1 2 tan - 1 ⁡ u 2 + k = 1 2 tan - 1 ⁡ x + 2 2 + k  

Resposta

Portanto,

∫ 1 x 2 + 4 x + 8 d x = 1 2 tan - 1 ⁡ x + 2 2 + k

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