8. Calcule

g )   ∫ x - 1 4 + x 2 d x

Passo 1

Antes de tudo, vamos separar essa integral em duas partes

∫ x - 1 4 + x 2 d x =   ∫ x 4 + x 2 - 1 4 + x 2   d x = ∫ x 4 + x 2 d x - ∫ 1 4 + x 2 d x  

Passo 2

Começaremos resolvendo a primeira integral

∫ x 4 + x 2 d x = ∫ x 4 + x 2 d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 4 + x 2 ⇒ d u = 2 x   d x   ⇒ x   d x = d u 2

Substituindo na integral,

∫ x 4 + x 2 d x = ∫ 1 u d u 2 = 1 2 ∫ 1 u d u

Lembrando que ∫ 1 x d x = l n   x + k

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + k =   1 2 ln ⁡ 4 + x 2 + k  

Como 4 + x 2 ≥ 0 , podemos tirar o módulo

1 2 ln ⁡ 4 + x 2 + k =   1 2 ln ⁡ ( 4 + x 2 ) + k

Passo 3

Para a outra integral, podemos ver que ela é do tipo ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k

∫ 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 ( 2 ) 2 + x 2 d x =   1 2 tan - 1 ⁡ x 2 + k  

Passo 4

Substituindo os valores encontrados

∫ x 4 + x 2 d x - ∫ 1 1 + x 2 d x =   1 2 ln ⁡ ( 4 + x 2 ) -   1 2 tan - 1 ⁡ x 2 + k  

Resposta

Portanto,

∫ x - 1 4 + x 2 d x =   1 2 ln ⁡ ( 4 + x 2 ) -   1 2 tan - 1 ⁡ x 2 + k

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