1. Calcule

d )   ∫ x ln ⁡ x   d x

Passo 1

Temos a multiplicação de duas funções nessa integral, para resolver iremos usar a integração por partes, a qual é dada por

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

Onde o u será escolhido por meio de uma regrinha chamada LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), nessa ordem de preferência. A outra função será o nosso d v .

Passo 2

Pela regrinha do LIATE, a função logarítmica deve ter preferência em ser u comparada à função algébrica, que é o nosso caso. Agora, derivando u e integrando o d v .

u = ln ⁡ x   ⇒ d u = 1 x d x  

d v = x   d x   ⇒ v = x 2 2

Passo 3

Vamos substituir esses valores,

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

∫ x ln ⁡ x   d x = ln ⁡ x x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x d x

= x 2 ln ⁡ x 2 - 1 2 ∫ x   d x =   x 2 ln ⁡ x 2 - 1 2 1 2 x 2 + k  

= x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 + k = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 + k

Resposta

Portanto,

∫ x ln ⁡ x   d x =   x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 + k

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