Calcule.

∫ - 3 4 5 - x 3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 5 - x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 1   d x → d u = - d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 3 → u = 5 - - 3 = 8

x = 4 → u = 5 - 4 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 3 4 5 - x 3 d x = ∫ 1 8 - u 3 d u = ∫ 1 8 - u 1 3 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ - u 1 3 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ - u 1 3 d u = - ∫ u 1 3 d u = - u 1 3 + 1 1 3 + 1 = - u 4 3 4 3 = - 3 u 4 3 4 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 1 8 - u 1 3 d u = - 3 u 4 3 4 1 8 = - 3 ⋅ 8 4 3 4 - - 3 ⋅ 1 4 3 4 = 3 ⋅ 16 4 - 3 ⋅ 1 4 = 48 4 - 3 4 = 45 4

Resposta

∫ - 3 4 5 - x 3 d x = 45 4

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