Calcule:

∫ 0 1 x e x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, x e   e x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, vamos usar:

u = x → d u = d x   e   v = e x → d v = e x d x

Por que é mais fácil usar assim, já que tanto faz derivar e x , já se você derivar o x , você vai cair nessa substituição:

∫ 0 1 x e x d x = x e x - ∫ e x d x 1 0

Sendo que é bem fácil de integrar ∫ e x d x

Caso contrário cairíamos nessa integral:

∫ 0 1 x e x d x = x 2 2 e x - ∫ x 2 2 e x d x 1 0

Que só é mais complicada ainda que a dada na questão

Passo 2

∫ 0 1 x e x d x = x e x - ∫ e x d x 1 0

Agora que temos o lado direito da igualdade, vamos resolver:

Sabemos que:

∫ e x d x = e x

Então, substituindo:

∫ 0 1 x e x d x = x e x - e x 1 0

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F x é uma primitiva de f x , então podemos dizer que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Então vamos usar que o nosso F x = x e x - e x , e a = 0   e   b = 1 :

∫ 0 1 x e x d x = 1 e 1 - e 1 - 0 e 0 - e 0

∫ 0 1 x e x d x = e - e - - 1

∫ 0 1 x e x d x = 1

Resposta

∫ 0 1 x e x d x = 1

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