Calcule a integral:

∫ p 5 ln ⁡ p d p

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

∫ p 5 ln ⁡ p d p

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e logarítmica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = p 5 d p v =   ? u = ln ⁡ p d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = p 5 d p v = ∫ p 5 d p = p 6 6 + C u = ln ⁡ p d u = 1 p d p

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ p ⏟ u p 5 d p ⏟ d v = ln ⁡ p ⏟ u p 6 6 ⏟ v - ∫ p 6 6 ⏟ v 1 p d p ⏟ d u

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 ∫ p 5 d p = p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 p 6 6 + C

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C = p 6 6 ln ⁡ p - 1 36 + C

Não pode esquecer da constante, hein!

Resposta

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 6 ln ⁡ p - 1 36 + C

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