Enunciado

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

d) y = x ,   1 4 ≤ x ≤ 3 4

Passo 1

Para calcular o comprimento do gráfico, tudo que precisamos é encontrar os parâmetros da seguinte equação.

d = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Do próprio enunciado, temos que a = 1 4 , b = 3 4 .

Calculando a derivada de

f x = x →   f ' x = 1 2 x

Montando a integral,

d = ∫ 1 4 3 4 1 + 1 4 x d x

Agora é só calcular!

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 1 4 3 4 1 + 1 4 x d x

Para que possamos resolver essa integral precisaremos fazer algumas substituições trigonométricas, para isso usaremos o triângulo abaixo para servir de norte!

Do triângulo tiramos que:

cot ⁡ θ 2 = x

Derivando dos dois lados teremos

- csc 2 ⁡ θ d θ = 1 x d x

Isolando d x :

d x = - x csc 2 ⁡ θ d θ

Note também que:

sec ⁡ θ = 1 + 1 4 x

Agora que já temos todas essas informações vamos reescrever a integral e calcular sua primitiva:

∫ 1 + 1 4 x d x = ∫ - cot ⁡ θ 2 sec ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que,

cot ⁡ θ . sec ⁡ θ = csc ⁡ θ

Colocando o - 1 2 para fora da integral:

∫ 1 + 1 4 x d x = - 1 2 ∫ csc 3 ⁡ θ d θ

Agora vamos resolver essa integral,

Passo 3

Usaremos o método da substituição por partes para calcular essa primitiva, lembrando que ao escolher bem u e v , facilita as contas!!!

u = csc ⁡ θ                     d u = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ

d v = csc 2 ⁡ θ                 v = - cot ⁡ θ

Substituindo, teremos que:

∫ csc 3 ⁡ θ d θ = - cot ⁡ θ csc ⁡ θ - ∫ cot 2 ⁡ θ csc ⁡ θ d θ

Usando que cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ - 1 :

∫ csc 3 ⁡ θ d θ = - cot ⁡ θ csc ⁡ θ - ∫ csc 3 ⁡ θ d θ + ∫ csc ⁡ θ d θ  

Resolvendo, acharemos que:

∫ csc 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cot ⁡ θ csc ⁡ θ + ln ⁡ cot ⁡ θ   + csc ⁡ θ + C

Como   ∫ 1 + 1 4 x d x = - 1 2 ∫ csc 3 ⁡ θ d θ , então:

∫ 1 + 1 4 x d x = 1 4 cot ⁡ θ csc ⁡ θ + ln ⁡ cot ⁡ θ   + csc ⁡ θ + C

Show, resolvemos a integral indefinida, mas fizemos isso em função de θ precisamos agora trocar essas funções trigonométricas por x !

Mas eii! Nós já calculamos esses caras lembra?

csc ⁡ θ = 2 x + 1 4           ;   cot ⁡ θ = 2 x    

Assim após a substituição ficaremos com:

∫ 1 + 1 4 x d x = 1 4 4 x 2 + x 4 +   l n 2 x + 1 4 + 2 x   + C

Passo 4

Agora que já temos a faca e o queijo na mão, calcularemos o comprimento d aplicando os limites de integração.

Só lembrando,

d = ∫ 1 4 3 4 1 + 1 4 x d x

Substituindo o resultado da integral,

d = 1 4 4 3 4 2 + 3 16   +   l n 2 3 4 + 1 4 + 2 3 4   - 4 1 4 2 + 1 16 +   l n 2 1 4 + 1 4 + 2 1 4  

Logo,

d = 1 4 2 3 - 2 + l n 3 + 2 - ln ⁡ 2 + 1

Esperaaa um pouco, my friend, eu sei que parece que já acabou mais a resposta ainda pode ser melhorada se nos usarmos as propriedades básicas de logaritmo!

d = 1 4 2 3 - 2 + l n 3 + 2 2 + 1

Resposta

d = 1 4 2 3 - 2 + l n 3 + 2 2 + 1

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