Calcule

∫ 1 4 + x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 4 + x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 2, e o outro cateto vale x , concorda comigo que a hipotenusa vai valer 4 + x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 4 + x 2 2 = sec ⁡ θ então x 2 = tan ⁡ θ → d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ θ × 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Agora só precisamos achar o valor de ∫ sec ⁡ θ d θ

Pra isso vamos fazer assim:

∫ sec ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ

Que exatamente:

d sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ  

Podemos substituir pela variável w = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ → d w = sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Assim:

∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ = ∫ 1 w   d w = ln ⁡ | w | + k = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + k

Substituindo, teremos:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , lembrando:

    4 + x 2 2 = sec ⁡ θ   e   x 2 = tan ⁡ θ

Assim:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + k

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ 4 + x 2 2 + x 2 + k

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ 4 + x 2 + x 2 + k

Lembrando que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Assim, podemos reescrever a função como:

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ 4 + x 2 + x - ln ⁡ 2 + k

Como ln ⁡ 2 se trata de um número, podemos considera-lo como parte da constante:

k - ln ⁡ 2 = c

E substituir:

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ 4 + x 2 + x + c

Resposta

∫ 1 4 + x 2 d x = ln ⁡ 4 + x 2 + x + c

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