Calcule

∫ 1 4 - x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 4 - x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer 4 - x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 4 - x 2 2 = cos ⁡ θ então x 2 = sin ⁡ θ → d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ 1 4 - x 2 d x = 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ × c o s   θ d θ = ∫ 1 d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

∫ 1 d θ = θ

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

    x 2 = sin ⁡ θ → arcsin ⁡ x 2 = θ

Assim:

θ = arcsin ⁡ x 2

Temos, então:

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsin ⁡ x 2

Lemrabdno sempre da constante:

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsin ⁡ x 2 + k

Resposta

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsin ⁡ x 2 + k

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