Enunciado

Calcule.

int (1)/(x^2 sqrt(1 + x^2)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral amos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 + x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = 1 tg theta = tg theta -> theta = arctg (x)

d x = sec^2 theta d theta

int (1)/(x^2 sqrt(1 + x^2)) d x = int (1)/(tg^2 theta sqrt(1 + tg^2 theta)) sec^2 theta d theta

Usando a identidade trigonométrica:

int (1)/(tg^2 theta sqrt(1 + tg^2 theta)) sec^2 theta d theta = int (1)/(tg^2 theta sqrt(sec^2 theta)) sec^2 theta d theta =

= int (1)/(tg^2 theta sec theta) sec^2 theta d theta = int (sec theta)/(tg^2 theta) d theta

Passo 2

Agora vamos colocar tudo em termos de seno e cosseno:

int (sec theta)/(tg^2 theta) d theta = int ((1)/(cos theta))/((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) d theta = int (1)/(cos theta) * ((cos^2 theta)/(sen^2 theta)) d theta = int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta

Vamos fazer uma última substituição:

v = sen theta

d v = cos theta d theta

int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta = int (1)/(v^2) d v

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(v^2) d v = int v^(- 2) d v = (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (v^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(v) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int (1)/(x^2 sqrt(1 + x^2)) d x = (1)/(v) + C = (1)/(sen theta) + C = (1)/(sen (arctg (x))) + C

Resposta

int (1)/(x^2 sqrt(1 + x^2)) d x = (1)/(sen (arctg (x))) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipob) ∫ 2 x + 1 x 2 + 4 x + 5 d x
Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipob) ∫ x - 1 9 + x 2 d x
Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipob) ∫ 3 x - 2 x 2 + x + 1 d x
Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipob) ∫ x + 1 0 x 2 + 2 x + 2 d x
Calculem) ∫ x ( a r c t g x ) ² d x ²