Enunciado

Calcule a área do conjunto de todos os x , y tais que x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . ( a > 0 e b > 0 .)

Passo 1

Vamos lá, vamos analisar a expressão, temos aqui que x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 é uma elipse, e que a equação da elipse pode ser escrita da seguinte maneira:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Isolando y vamos ter

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

y = ± b 1 - x 2 a 2

Que vai ser o contorno da nossa elipse, e onde a variável x varia de - a até a .

Passo 2

Como a elipse é simétrica em relação ao eixo x , ou seja, a parte acima do eixo x tem mesma área da parte abaixo do eixo x , então vamos escrever a área da elipse como duas vezes a área da parte de cima, então

y = b 1 - x 2 a 2

E a área é dada por

A = 2 ∫ - a a y x d x = 2 ∫ - a a b 1 - x 2 a 2 d x = 2 b ∫ - a a 1 - x 2 a 2 d x

Show! Agora o nosso problema é resolver essa integralzinha haha.

Vamos usar mais uma simetria? O lado esquerdo da elipse é igual ao lado direito, não é? Então vamos mudar o limite de integração para de 0 até a e multiplicar por 2 de novo!

A = 4 b ∫ 0 a 1 - x 2 a 2 d x

Passo 3

Beleza! Agora não tem pra onde fugir, vamos ter que fazer essa integral de vez! Pra isso vamos fazer a seguinte substituição trigonométrica

x = a sen ⁡ θ → d x = a c o s θ d θ

E os limites de integração ficam

x = 0 → θ = 0

x = a → θ = π 2

Então

A = 4 b ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 θ a c o s θ d θ = 4 a b ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 θ   c o s θ d θ

Aí, tem uma propriedade trigonométrica beeem importante

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 → 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ θ

Assim

1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ = cos ⁡ θ

Isso por que no intervalo de 0 até π / 2 a função cosseno é positiva, por isso, o módulo do cosseno é igual ao cosseno 😉

A nossa área fica

A = 4 a b ∫ 0 π 2 c o s θ c o s θ d θ = 4 a b ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Pra sumir com esse cosseno ao quadrado podemos agora usar arco duplo, ou seja,

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

E a relação fundamental da trigonometria

1 = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Somando essas duas equações ficamos com

1 + cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ → cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Agora, é só jogar na integral e partir pro abraço!

A = 4 a b ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ = 4 a b ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = 2 a b ∫ 0 π 2 d θ + ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A primeira integral fica

∫ 0 π / 2 d θ = π 2

E a segunda

∫ 0 π / 2 cos ⁡ 2 θ d θ = s e n 2 θ 2 0 π / 2 = 1 2 s e n π - s e n 0 = 0

Assim, finalmente (!)

A = 2 a b π 2

A = π a b

Demorou mas ficou bonita a resposta, não é mesmo :D

Resposta

A = π a b

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