Enunciado

Calcule.

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Sabemos que x = 1 é raiz, pois 1^3 - 2 * 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 , vamos então fazer a divisão de x^3 - 2 x^2 - x + 2 por x - 1 :

x^3 - 2 x^2 - x + 2 = (x - 1) (x^2 - x - 2)

Vamos agora achar as raízes de x^2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- (- 1) +- sqrt((- 1)^2 - 4 * 1 * (- 2)))/(2 * 1) = (+ 1 +- sqrt(9))/(2) = (+ 1 +- 3)/(2)

Temos então:

x_1 = (+ 1 + 3)/(2) = (4)/(2) = 2

x_2 = (+ 1 - 3)/(2) = - (2)/(2) = - 1

Assim ficamos com:

x^3 - 2 x^2 - x + 2 = (x - 1) (x^2 - x - 2) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

Substituindo na integral:

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x = int (x + 3)/((x - 1) (x - 2) (x + 1)) d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x + 3)/((x - 1) (x - 2) (x + 1)) = (A)/(x - 1) + (B)/(x - 2) + (C)/(x + 1)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1) (x - 2) (x + 1) :

x + 3 = A (x - 2) (x + 1) + B (x - 1) (x + 1) + C (x - 1) (x - 2)

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 3 = A (x^2 + x - 2 x - 2) + B (x^2 + x - x - 1) + C (x^2 - 2 x - x + 2)

x + 3 = A (x^2 - x - 2) + B (x^2 - 1) + C (x^2 - 3 x + 2)

x + 3 = A x^2 - A x - 2 A + B x^2 - B + C x^2 - 3 C x + 2 C

x + 3 = x^2 (A + B + C) + x (- A - 3 C) + (- 2 A - B + 2 C)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 0],[- A - 3 C = 1 -> A = - 3 C - 1],[- 2 A - B + 2 C = 3]])

Substituindo o valor de A na primeira:

A + B + C = 0 -> - 3 C - 1 + B + C = 0 -> - 2 C + B = 1 -> B = 1 + 2 C

Substituindo o valor de A e B na terceira temos:

- 2 A - B + 2 C = 3 -> - 2 (- 3 C - 1) - (1 + 2 C) + 2 C = 3 -> 6 C + 2 - 1 - 2 C + 2 C = 3 -> 6 C = 3 - 2 + 1 -> C = (2)/(6) -> C = (1)/(3)

Assim achamos os valores de A e B :

A = - 3 C - 1 = - 3 * (1)/(3) - 1 = - 1 - 1 = - 2

B = 1 + 2 C = 1 + 2 * (1)/(3) = (5)/(3)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x = int (- 2)/(x - 1) + ((5)/(3))/(x - 2) + ((1)/(3))/(x + 1) d x = int (- 2)/(x - 1) + (5)/(3 (x - 2)) + (1)/(3 (x + 1)) d x = int (- 2)/(x - 1) d x + int (5)/(3 (x - 2)) d x + int (1)/(3 (x + 1)) d x

Passo 3

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (- 2)/(x - 1) d x = - 2 int (1)/(x - 1) d x = - 2 int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

- 2 int (1)/(u) d u = - 2 ln |u| + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (5)/(3 (x - 2)) d x = (5)/(3) int (1)/(x - 2) d x = (5)/(3) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(5)/(3) int (1)/(v) d v = (5)/(3) ln |v| + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(3 (x + 1)) d x = (1)/(3) int (1)/(x + 1) d x = (1)/(3) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(3) int (1)/(t) d t = (1)/(3) ln |t| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x = int (- 2)/(x - 1) d x + int (5)/(3 (x - 2)) d x + int (1)/(3 (x + 1)) d x = - 2 ln |u| + (5)/(3) ln |v| + (1)/(3) ln |t| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x = - 2 ln |u| + (5)/(3) ln |v| + (1)/(3) ln |t| + C = - 2 ln |x - 1| + (5)/(3) ln |x - 2| + (1)/(3) ln |x + 1| + C

Resposta

int (x + 3)/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) d x = - 2 ln |x - 1| + (5)/(3) ln |x - 2| + (1)/(3) ln |x + 1| + C

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