Calcule.

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Sabemos que x = 1 é raiz, pois 1 3 - 2 ⋅ 1 2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 , vamos então fazer a divisão de x 3 - 2 x 2 - x + 2 por x - 1 :

x 3 - 2 x 2 - x + 2 = x - 1 x 2 - x - 2

Vamos agora achar as raízes de x 2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 ∙ 1 = + 1 ± 9 2 = + 1 ± 3 2

Temos então:

x 1 = + 1 + 3 2 = 4 2 = 2

x 2 = + 1 - 3 2 = - 2 2 = - 1

Assim ficamos com:

x 3 - 2 x 2 - x + 2 = x - 1 x 2 - x - 2 = x - 1 x - 2 x + 1

Substituindo na integral:

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x = ∫ x + 3 x - 1 x - 2 x + 1 d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x + 3 x - 1 x - 2 x + 1 = A x - 1 + B x - 2 + C x + 1

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 x - 2 x + 1 :

x + 3 = A x - 2 x + 1 + B x - 1 x + 1 + C x - 1 x - 2

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 3 = A x 2 + x - 2 x - 2 + B x 2 + x - x - 1 + C x 2 - 2 x - x + 2

x + 3 = A x 2 - x - 2 + B x 2 - 1 + C x 2 - 3 x + 2

x + 3 = A x 2 - A x - 2 A + B x 2 - B + C x 2 - 3 C x + 2 C

x + 3 = x 2 A + B + C + x - A - 3 C + - 2 A - B + 2 C

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 - A - 3 C = 1 → A = - 3 C - 1 - 2 A - B + 2 C = 3

Substituindo o valor de A na primeira:

A + B + C = 0 → - 3 C - 1 + B + C = 0 → - 2 C + B = 1 → B = 1 + 2 C

Substituindo o valor de A e B na terceira temos:

- 2 A - B + 2 C = 3 → - 2 - 3 C - 1 - 1 + 2 C + 2 C = 3 → 6 C + 2 - 1 - 2 C + 2 C = 3 → 6 C = 3 - 2 + 1 → C = 2 6 → C = 1 3

Assim achamos os valores de A e B :

A = - 3 C - 1 = - 3 ⋅ 1 3 - 1 = - 1 - 1 = - 2

B = 1 + 2 C = 1 + 2 ⋅ 1 3 = 5 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x = ∫ - 2 x - 1 + 5 3 x - 2 + 1 3 x + 1 d x = ∫ - 2 x - 1 + 5 3 x - 2 + 1 3 x + 1 d x = ∫ - 2 x - 1 d x + ∫ 5 3 x - 2 d x + ∫ 1 3 x + 1 d x

Passo 3

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 2 x - 1 d x = - 2 ∫ 1 x - 1 d x = - 2 ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

- 2 ∫ 1 u d u = - 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 5 3 x - 2 d x = 5 3 ∫ 1 x - 2 d x = 5 3 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

5 3 ∫ 1 v d v = 5 3 ln ⁡ v + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 3 x + 1 d x = 1 3 ∫ 1 x + 1 d x = 1 3 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 3 ∫ 1 t d t = 1 3 ln ⁡ t + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x = ∫ - 2 x - 1 d x + ∫ 5 3 x - 2 d x + ∫ 1 3 x + 1 d x = - 2 ln ⁡ u + 5 3 ln ⁡ v + 1 3 ln ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x = - 2 ln ⁡ u + 5 3 ln ⁡ v + 1 3 ln ⁡ t + C = - 2 ln ⁡ x - 1 + 5 3 ln ⁡ x - 2 + 1 3 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ x + 3 x 3 - 2 x 2 - x + 2 d x = - 2 ln ⁡ x - 1 + 5 3 ln ⁡ x - 2 + 1 3 ln ⁡ x + 1 + C

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