Calcule.

∫ x + 1 x - 1 4 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x + 1 x - 1 4 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 1 3 + D x - 1 4

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 4 :

x - 1 4 x + 1 x - 1 4 = A x - 1 4 x - 1 + B x - 1 4 x - 1 2 + C x - 1 4 x - 1 3 + D x - 1 4 x - 1 4

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 1 = A x - 1 3 + B x - 1 2 + C x - 1 + D

x + 1 = A x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 + B x 2 - 2 x + 1 + C x - C + D

x + 1 = A x 3 - 3 A x 2 + 3 A x - A + B x 2 - 2 B x + B + C x - C + D

x + 1 = x 3 A + x 2 - 3 A + B + x 3 A - 2 B + C + - A + B - C + D

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A = 0 - 3 A + B = 0 3 A - 2 B + C = 1 - A + B - C + D = 1

Substituindo o valor de A em todas:

A = 0 B = 0 C = 1 - C + D = 1 → D = 1 + C → D = 1 + 1 = 2

Passo 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x + 1 x - 1 4 d x = ∫ 0 x - 1 + 0 x - 1 2 + 1 x - 1 3 + 2 x - 1 4 d x = ∫ 1 x - 1 3 + 2 x - 1 4 d x = ∫ 1 x - 1 3 d x + ∫ 2 x - 1 4 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 1 3 d x = ∫ 1 u 3 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 1 u 3 d u = ∫ u - 3 d u = u - 3 + 1 - 3 + 1 + C = u - 2 - 2 + C = - 1 2 u 2 + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x - 1 4 d x = 2 ∫ 1 x - 1 4 d x = 2 ∫ 1 v 4 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

2 ∫ 1 v 4 d v = 2 ∫ v - 4 d v = 2 v - 4 + 1 - 4 + 1 + C = 2 v - 3 - 3 + C = - 2 3 v 3 + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ x + 1 x - 1 4 d x = ∫ 1 x - 1 3 d x + ∫ 2 x - 1 4 d x = - 1 2 u 2 - 2 3 v 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x + 1 x - 1 4 d x = - 1 2 u 2 - 2 3 v 3 + C = - 1 2 x - 1 2 - 2 3 x - 1 3 + C

Resposta

∫ x + 1 x - 1 4 d x = - 1 2 x - 1 2 - 2 3 x - 1 3 + C

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