Enunciado

Calcule.

int (x + 1)/((x - 1)^4) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x + 1)/((x - 1)^4) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) + (C)/((x - 1)^3) + (D)/((x - 1)^4)

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1)^4 :

((x - 1)^4 (x + 1))/((x - 1)^4) = (A (x - 1)^4)/(x - 1) + (B (x - 1)^4)/((x - 1)^2) + (C (x - 1)^4)/((x - 1)^3) + (D (x - 1)^4)/((x - 1)^4)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 1 = A (x - 1)^3 + B (x - 1)^2 + C (x - 1) + D

x + 1 = A (x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1) + B (x^2 - 2 x + 1) + C x - C + D

x + 1 = A x^3 - 3 A x^2 + 3 A x - A + B x^2 - 2 B x + B + C x - C + D

x + 1 = x^3 (A) + x^2 (- 3 A + B) + x (3 A - 2 B + C) + (- A + B - C + D)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A = 0],[- 3 A + B = 0],[3 A - 2 B + C = 1],[- A + B - C + D = 1]])

Substituindo o valor de A em todas:

{[[A = 0],[B = 0],[C = 1],[- C + D = 1 -> D = 1 + C -> D = 1 + 1 = 2]])

Passo 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x + 1)/((x - 1)^4) d x = int (0)/(x - 1) + (0)/((x - 1)^2) + (1)/((x - 1)^3) + (2)/((x - 1)^4) d x = int (1)/((x - 1)^3) + (2)/((x - 1)^4) d x = int (1)/((x - 1)^3) d x + int (2)/((x - 1)^4) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/((x - 1)^3) d x = int (1)/(u^3) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(u^3) d u = int u^(- 3) d u = (u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) + C = (u^(- 2))/(- 2) + C = - (1)/(2 u^2) + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/((x - 1)^4) d x = 2 int (1)/((x - 1)^4) d x = 2 int (1)/(v^4) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

2 int (1)/(v^4) d v = 2 int v^(- 4) d v = 2 (v^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) + C = 2 (v^(- 3))/(- 3) + C = - (2)/(3 v^3) + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (x + 1)/((x - 1)^4) d x = int (1)/((x - 1)^3) d x + int (2)/((x - 1)^4) d x = - (1)/(2 u^2) - (2)/(3 v^3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x + 1)/((x - 1)^4) d x = - (1)/(2 u^2) - (2)/(3 v^3) + C = - (1)/(2 (x - 1)^2) - (2)/(3 (x - 1)^3) + C

Resposta

int (x + 1)/((x - 1)^4) d x = - (1)/(2 (x - 1)^2) - (2)/(3 (x - 1)^3) + C

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