Enunciado

Calcule.

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x^2 + 1)/((x - 2)^3) = (A)/(x - 2) + (B)/((x - 2)^2) + (C)/((x - 2)^3)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2)^3 :

((x - 2)^3 (x^2 + 1))/((x - 2)^3) = (A (x - 2)^3)/(x - 2) + (B (x - 2)^3)/((x - 2)^2) + (C (x - 2)^3)/((x - 2)^3)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x^2 + 1 = A (x - 2)^2 + B (x - 2) + C

x^2 + 1 = A (x^2 - 4 x + 4) + B x - 2 B + C

x^2 + 1 = A x^2 - 4 A x + 4 A + B x - 2 B + C

x^2 + 1 = x^2 (A) + x (- 4 A + B) + (4 A - 2 B + C)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A = 1],[- 4 A + B = 0],[4 A - 2 B + C = 1]])

Substituindo o valor de A na segunda:

{[[A = 1],[- 4 A + B = 0 -> B = 4 A = 4],[4 A - 2 B + C = 1]])

Substituindo o valor de A e B na terceira temos:

{[[A = 1],[B = 4],[4 A - 2 B + C = 1 -> C = 1 - 4 A + 2 B = 1 - 4 + 2 * 4 = 5]])

Passo 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (1)/(x - 2) + (4)/((x - 2)^2) + (5)/((x - 2)^3) d x = int (1)/(x - 2) d x + int (4)/((x - 2)^2) d x + int (5)/((x - 2)^3) d x

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Vamos usar a Regra da Substituição em cada uma, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Na primeira:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x - 2) d x = int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (4)/((x - 2)^2) d x = 4 int (1)/((x - 2)^2) d x = 4 int (1)/(v^2) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

4 int (1)/(v^2) d v = 4 int v^(- 2) d v = 4 (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = 4 (v^(- 1))/(- 1) + C = - (4)/(v) + C

Passo 4

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (5)/((x - 2)^3) d x = 5 int (1)/((x - 2)^3) d x = 5 int (1)/(t^3) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

5 int (1)/(t^3) d t = 5 int t^(- 3) d t = 5 * (t^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) + C = 5 * (t^(- 2))/(- 2) + C = - (5)/(2 t^2) + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (1)/(x - 2) d x + int (4)/((x - 2)^2) d x + int (5)/((x - 2)^3) d x = ln |u| - (4)/(v) - (5)/(2 t^2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = ln |u| - (4)/(v) - (5)/(2 t^2) + C = ln |x - 2| - (4)/(x - 2) - (5)/(2 (x - 2)^2) + C

Resposta

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = ln |x - 2| - (4)/(x - 2) - (5)/(2 (x - 2)^2) + C

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