Calcule

dT/dt = -2(T - 3), t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d T d t = T g t + f t

Teremos esse resultado:

T = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ - 2 d t = e 2 t

Assim fazemos:

d T d t - T g t = f t

d T d t - T g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d T d t - T g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d T e - ∫ g t d t d t = d T d t - T g t e - ∫ g t d t

Assim:

d T e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d T e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

T e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

T e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

T = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para o e ∫ g t d t , teremos:

e ∫ - 2 d t = e - 2 t

Então, para o nosso caso teremos:

T = k e - 2 t + e - 2 t ∫ 6 e 2 t d t

Passo 2

Vamos ficar com:

T = k e - 2 t + e - 2 t ∫ 6 e 2 t d t

Se aplicarmos a substituição: u = 2 t → d u = 2 d t

T = k e - 2 t + e - 2 t × 1 2   ∫ 6 e u d u

T = k e - 2 t + e - 2 t × 3   e u

Voltando pra variável t :

T = k e - 2 t + e - 2 t × 3   e 2 t = k e - 2 t + 3

Resposta

T = k e - 2 t + 3

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