Resolva a equação diferencial.

1 + xy = xy'

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

x y ' - x y = 1

Dividindo a equação por x :

y ' - y = 1 x

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y ' + P x   y = Q x ,

com

P x = - 1                     e                 Q x = 1 x

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e ∫ P x   d x

Calculando a integral:

∫ P x   d x = - ∫ d x = - x

Assim,

I = e - x

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y ' e - x - y e - x = e - x x

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y ' e - x - y e - x = y   e - x '

Logo,

d d x y   e - x = e - x x

Integrando, obtemos

y e - x = ∫ e - x x   d x

Essa integral não pode ser escrita em termos de funções elementares, então deixaremos a solução em função dela. Adicionando a constante de integração e isolando y :

y = 1 e - x ∫ e - x x   d x + C e - x

Logo,

y = e x ∫ e - x x   d x + C e x

Essa é a solução!

Resposta

y = e x ∫ e - x x   d x + C e x

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