Calcule f'(x) .

f(x) = 4 + (5x)^2 ln(x)

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ( x ) = 4 + 5 x 2 ln ⁡ x ' = 4 ' + ( 5 x 2 ln ⁡ x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante, da função logarítmica natural e da função constante:

x n ' = n x n - 1

k f x ' = k f ' ( x )

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

Passo 3

Na primeira vamos usar a regra da função constante:

4 ' = 0

Na segunda vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = 5 x 2

e

g x = ln ⁡ x

Assim:

5 x 2 ln ⁡ x ' = h ' x g x + g ' x h x = 5 x 2 ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' 5 x 2

Passo 4

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da multiplicação por constante:

h ' ( x ) = 5 x 2 ' = 5 x 2 ' = 5 ⋅ 2 x 2 - 1 = 10 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função logarítmica natural:

g ' x = ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ x ' = 1 x ⋅ x 1 - 1 = 1 x ⋅ x 0 = 1 x ⋅ 1 = 1 x

Juntando:

5 x 2 ln ⁡ x ' = 5 x 2 ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' 5 x 2 = 10 x ln ⁡ x + 1 x 5 x 2 = 10 x ln ⁡ x + 5 x

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = 4 ' + 5 x 2 ln ⁡ x ' = 0 + 10 x ln ⁡ x + 5 x = 10 x ln ⁡ x + 5 x

Resposta

f ' ( x ) = 10 x ln ⁡ x + 5 x

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