Enunciado

Calcule.

int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Sabemos que x = 1 é raiz, pois 1^3 + 1^2 + 1 + 3 = 0 , vamos então fazer a divisão de x^3 + x^2 + x - 3 por x - 1 :

x^3 + x^2 + x - 3 = (x - 1) (x^2 + 2 x + 3)

Substituindo na integral:

int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = int (3 x^2 + 5 x + 4)/((x - 1) (x^2 + 2 x + 3)) d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(3 x^2 + 5 x + 4)/((x - 1) (x^2 + 2 x + 3)) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 2 x + 3)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1) (x^2 + 2 x + 3) :

3 x^2 + 5 x + 4 = A (x^2 + 2 x + 3) + (B x + C) (x - 1)

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 x^2 + 5 x + 4 = A (x^2 + 2 x + 3) + (B x + C) (x - 1)

3 x^2 + 5 x + 4 = A x^2 + 2 A x + 3 A + B x^2 - B x + C x - C

3 x^2 + 5 x + 4 = x^2 (A + B) + x (2 A - B + C) + (3 A - C)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 3],[2 A - B + C = 5],[3 A - C = 4]])

Somando a primeira com a segunda:

3 A + C = 8

Agora somando a que acabamos de achar com a última:

6 A = 12 -> A = 2

Assim achamos os valores de C e B :

C = 3 A - 4 = 3 * 2 - 4 = 2

B = 3 - A = 3 - 2 = 1

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (3 x^2 + 5 x + 4)/((x - 1) (x^2 + 2 x + 3)) d x = int (2)/(x - 1) + (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) d x = int (2)/(x - 1) d x + int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(x - 1) d x = 2 int (1)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Passo 4

Com a segunda temos que a expressão (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x^2 + 2 x + 3 = x^2 + 2 x + 1 + 2 = (x + 1)^2 + 2

Substituindo:

int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) d x = int (x + 2)/((x + 1)^2 + 2) d x

Vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x + 1 -> x = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x + 2)/((x + 1)^2 + 2) d x = int (v - 1 + 2)/(v^2 + 2) d v = int (v + 1)/(v^2 + 2) d v = int (v)/(v^2 + 2) + (1)/(v^2 + 2) d v = int (v)/(v^2 + 2) d v + int (1)/(v^2 + 2) d v

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v^2 + 2

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

int (v)/(v^2 + 2) d v = int (1)/(2 t) d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(2 t) d t = (1)/(2) int (1)/(t) d t = (1)/(2) ln |t| + C

Passo 6

Com a segunda:

int (1)/(v^2 + 2) d v

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(a) arctg ((x)/(a)) + C

Aplicando:

int (1)/(v^2 + 2) d v = int (1)/(v^2 + (sqrt(2))^2) d v = (1)/(sqrt(2)) arctg ((v)/(sqrt(2))) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = int (2)/(x - 1) d x + int (x + 2)/(x^2 + 2 x + 3) d x = 2 ln |u| + int (v)/(v^2 + 2) d v + int (1)/(v^2 + 2) d v = 2 ln |u| + (1)/(2) ln |t| + (1)/(sqrt(2)) arctg ((v)/(sqrt(2))) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = 2 ln |u| + (1)/(2) ln |t| + (1)/(sqrt(2)) arctg ((v)/(sqrt(2))) + C = 2 ln |x - 1| + (1)/(2) ln |v^2 + 2| + (1)/(sqrt(2)) arctg ((x + 1)/(sqrt(2))) + C = 2 ln |x - 1| + (1)/(2) ln |(x + 1)^2 + 2| + (1)/(sqrt(2)) arctg ((x + 1)/(sqrt(2))) + C

Resposta

int (3 x^2 + 5 x + 4)/(x^3 + x^2 + x - 3) d x = 2 ln |x - 1| + (1)/(2) ln |(x + 1)^2 + 2| + (1)/(sqrt(2)) arctg ((x + 1)/(sqrt(2))) + C

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