Calcule.

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Sabemos que x = 1 é raiz, pois 1 3 + 1 2 + 1 + 3 = 0 , vamos então fazer a divisão de x 3 + x 2 + x - 3 por x - 1 :

x 3 + x 2 + x - 3 = x - 1 x 2 + 2 x + 3

Substituindo na integral:

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x - 1 x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

3 x 2 + 5 x + 4 x - 1 x 2 + 2 x + 3 = A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 3

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 x 2 + 2 x + 3 :

3 x 2 + 5 x + 4 = A x 2 + 2 x + 3 + B x + C x - 1

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 x 2 + 5 x + 4 = A x 2 + 2 x + 3 + B x + C x - 1

3 x 2 + 5 x + 4 = A x 2 + 2 A x + 3 A + B x 2 - B x + C x - C

3 x 2 + 5 x + 4 = x 2 A + B + x 2 A - B + C + 3 A - C

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 3 2 A - B + C = 5 3 A - C = 4

Somando a primeira com a segunda:

3 A + C = 8

Agora somando a que acabamos de achar com a última:

6 A = 12 → A = 2

Assim achamos os valores de C e B :

C = 3 A - 4 = 3 ⋅ 2 - 4 = 2

B = 3 - A = 3 - 2 = 1

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x - 1 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ 2 x - 1 + x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ 2 x - 1 d x + ∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x

Pronto, agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d t = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x - 1 d x = 2 ∫ 1 x - 1 d x = 2 ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Com a segunda temos que a expressão x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x 2 + 2 x + 3 = x 2 + 2 x + 1 + 2 = x + 1 2 + 2

Substituindo:

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ x + 2 x + 1 2 + 2 d x

Vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x + 1 → x = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x + 2 x + 1 2 + 2 d x = ∫ v - 1 + 2 v 2 + 2 d v = ∫ v + 1 v 2 + 2 d v = ∫ v v 2 + 2 + 1 v 2 + 2 d v = ∫ v v 2 + 2 d v + ∫ 1 v 2 + 2 d v

Passo 5

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v 2 + 2

d t = 2 v + 0 d v = 2 v d v

Assim:

∫ v v 2 + 2 d v = ∫ 1 2 t d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 2 t d t = 1 2 ∫ 1 t d t = 1 2 ln ⁡ t + C

Passo 6

Com a segunda:

∫ 1 v 2 + 2 d v

Com a segunda vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctg ⁡ x a + C

Aplicando:

∫ 1 v 2 + 2 d v = ∫ 1 v 2 + 2 2 d v = 1 2 arctg ⁡ v 2 + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = ∫ 2 x - 1 d x + ∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = 2 ln ⁡ u + ∫ v v 2 + 2 d v + ∫ 1 v 2 + 2 d v = 2 ln ⁡ u + 1 2 ln ⁡ t + 1 2 arctg ⁡ v 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = 2 ln ⁡ u + 1 2 ln ⁡ t + 1 2 arctg ⁡ v 2 + C = 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ v 2 + 2 + 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + C = 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 2 + 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + C

Resposta

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 2 + 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + C

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