Calcule.

∫ - 1 0 2 x + 5 3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 x + 5

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 + 0   d x → d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 1 → u = 2 - 1 + 5 = 3

x = 0 → u = 2 ⋅ 0 + 5 = 5

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 1 0 2 x + 5 3 d x = ∫ 3 5 u 3 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ u 3 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 3 2 d u = 1 2 ∫ u 3 d u = 1 2 ⋅ u 3 + 1 3 + 1 = 1 2 ⋅ u 4 4 = u 4 8 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 3 5 u 3 2 d u = u 4 8 3 5 = 5 4 8 - 3 4 8 = 625 8 - 81 8 = 544 8 = 68

Resposta

∫ - 1 0 2 x + 5 3 d x = 68

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