Enunciado

Calcule [x - x^2 l n l n ((1 + x)/(x))] .

Passo 1

Primeiro vamos começar simplificando a função dentro do limite. Temos que:

[x - x^2 l n l n ((1 + x)/(x))] = [ x - x^2 l n l n ((1)/(x) + 1) ]

Passo 2

Agora vamos manipular a função a fim de simplificar os cálculos. Suponha que t = (1)/(x) , então quando x -> oo , temos que t -> 0^+ . Substituindo essa suposição no limite, temos que:

[ x - x^2 l n l n ((1)/(x) + 1) ] = [ (1)/(t) - (1)/(t^2) l n l n ( t + 1 ) ] = (t - l n l n (t + 1))/(t^2)

Passo 3

Aplicando o limite temos uma indeterminação do tipo (0)/(0) , logo podemos aplicar a Regra de l’Hôspital :

(t - l n l n (t + 1))/(t^2) = (1 - (1)/(t + 1))/(2 t)

Passo 4

Simplificando a função do limite, temos:

(1 - (1)/(t + 1))/(2 t) = ((t)/(t + 1))/(2 t) = (1)/(2 (t + 1))

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite:

(1)/(2 (t + 1)) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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