Calcular o limite, caso ele exista:

lim x → ∞ ⁡ s e n ( 2 x ) 1 x

Passo 1

Notem que ao fazermos x → ∞ (já que l i m x → ∞ 1 x = 0 ) teremos uma indeterminação do tipo 0 0 então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis para todo x > N sendo N uma constante positiva e suponha que para todo   x > N , temos que g ' ( x ) ≠ 0 . Então, se lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 0 e lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 0 e se:

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = L

Temos que:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: f x g x ' ≠ f ' ( x ) g ' ( x )

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f x = s e n ( 2 x )

f ' x = - 2 x 2 c o s ( 2 x )

g x = 1 x

g ' x = - 1 x 2

Então, temos que:

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → ∞ - 2 x 2 c o s ⁡ ( 2 x ) - 1 x 2

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 2   l i m ⁡ x → ∞ c o s ⁡ ( 2 x )

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

OBS: lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 2 l i m x → ∞ c o s ⁡ ( 0 )

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 2 l i m x → ∞ 1

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Tendo que:

lim x → ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 2

Então:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 2

Sabendo que:

f x = s e n ( 2 x )

g x = 1 x

Resposta

lim x → ∞ ⁡ s e n ( 2 x ) 1 x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados