Enunciado

Calcular o limite, caso ele exista:

underset(x -> oo)(lim) (s e n ( (2)/(x) ))/((1)/(x))

Passo 1

Notem que ao fazermos x -> oo (já que underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0 ) teremos uma indeterminação do tipo (0)/(0) então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis para todo x > N sendo N uma constante positiva e suponha que para todo x > N , temos que g ' ( x ) != 0 . Então, se underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = 0 e underset(x -> oo)(lim) g ( x ) = 0 e se:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = L

Temos que:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: ((f (x))/(g (x)))^' != (f ' ( x ))/(g ' ( x ))

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f (x) = s e n ( (2)/(x) )

f^' (x) = (- 2)/(x^2) c o s ( (2)/(x) )

g (x) = (1)/(x)

g^' (x) = (- 1)/(x^2)

Então, temos que:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> oo)(l i m) ((- 2)/(x^2) c o s ( (2)/(x) ))/((- 1)/(x^2))

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> oo)(2 l i m ) c o s ( (2)/(x) )

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

OBS: underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) = 0

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2 underset(x -> oo)(l i m) c o s ( 0 )

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2 underset(x -> oo)(l i m) 1

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x ))

Tendo que:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2

Então:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 2

Sabendo que:

f (x) = s e n ( (2)/(x) )

g (x) = (1)/(x)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (s e n ( (2)/(x) ))/((1)/(x)) = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para que valores de a e b temos l i m x → 0 t g 2 x x 3 + a x 2 + s i n ( b x ) x
Encontre o limite. Use a regra de l’Hopital quando apropriado. Caso exista mais um método mais comum, use-o. Caso a regra de l’Hopital não se aplique, explique o porque. lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1
Suponha que f é uma função positiva. Se lim x → a ⁡ f x = 0elim x → a ⁡ g x = ∞ , mostra que lim x → a ⁡ f x g x = 0 Isto mostra que 0 ∞ não é uma forma indeterminada.
A luz entra pelo olho através da pupila e atinge a retina, onde células fotorreceptoras percebem a luz e cor. W.Stanley Stiles e B.H. Crawford estudaram o fenômeno no qual o brilho medido diminui conf
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ sen - 1 ⁡ x x