Calcular o limite, caso ele exista:

lim x → 0 ⁡ t g x - x x - s e n ( x )

Passo 1

Notem que ao fazermos x → 0 teremos uma indeterminação do tipo 0 0 então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis em um intervalo aberto   I , exceto, possivelmente em um número a contido nesse intervalo. Suponha que para todo   x ≠ a em I , temos que g ' ( x ) ≠ 0 . Então, se lim x → a ⁡ f ( x ) = 0 e lim x → a ⁡ g ( x ) = 0 e se:

lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = L

Temos que:

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: f x g x ' ≠ f ' ( x ) g ' ( x )

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f x = t g x - x

f ' x = s e c 2 x - 1

g x = x - s e n ( x )

g ' x = 1 - c o s ( x )

Lembrem-se da derivada trigonométrica tabelada: t g ' x = sec 2 ⁡ ( x )

Então, temos que:

lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → 0 1 sec 2 ⁡ ( x )

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → 0 sec 2 ⁡ x - 1 1 - c o s ⁡ ( x )  

Observem: ao fazermos x → 0   continuamos com o problema da indeterminação!!!

Para resolvermos esse problema, vamos aplicar novamente e verificar se conseguimos eliminar a indeterminação.

lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x )

Antes, vamos, novamente, dar nomes aos cordeiros:

f ' x = s e c 2 x - 1

f ' ' x = 2 s e c 2 x t g ( x )

g ' x = 1 - c o s ( x )

g ' ' x = s e n ( x )

Temos que:

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2 sec 2 ⁡ x t g ( x ) s e n ( x )

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2 sec 2 ⁡ x t g ( x ) s e n ( x )

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2 sec 2 ⁡ x s e n ( x ) s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2 sec 2 ⁡ x c o s ( x )

lim x → 0 ⁡ f ' ' x g ' ' x = l i m x → 0   2 s e c 3 x

Pasmem: a indeterminação sumiu!!!

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = l i m x → 0   2 s e c 3 ( 0 )

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = l i m x → 0   2.1

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x )

Tendo que:

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) g ' ' ( x ) = 2

Então:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = 2

Sabendo que:

f x = t g x - x

g x = x - s e n ( x )

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g x - x x - s e n ( x ) = 2

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