A fórmula MathML fornecida contém apenas um espaço em branco, portanto não há uma fórmula matemática a ser reescrita. Se a ideia é representar um espaço ou uma ausência de fórmula, não há nada a ser transcrito. Se houver um erro na entrada e você está aguardando que uma fórmula específica seja escrita, por favor, verifique a entrada. Calcule

∫ c o t g n x d x = - c o t g n - 1 x n - 1 - ∫ c o t g n - 2 x d x

Passo 1

Temos que verificar a integral

∫ c o t g n x d x = - c o t g n - 1 x n - 1 - ∫ c o t g n - 2 x d x

Passo 2

O primeiro passo é fazer o seguinte protuto

c o t g n x = c o t g   n - 2 x   c o t g 2   x

Onde

c o t g 2 x = c o s e c 2 x - 1

Agora temos

∫ c o t g   n - 2 x c o s e c 2 x - ∫ c o t g   n - 2 x   d x

Fazendo integral por partes

u ' = c o s e c 2 x

v = c o t g   n - 2

u = - c o t g x

v ' = n - 2 c o t g   n - 3 x c o s e c 2   x  

Onde

∫ v u ' = u v - ∫ v ' u

substituindo

∫ c o t g   n - 2 x c o s e c 2 x d x = = - c o t g x c o t g   n - 2 - ∫ n - 2 c o t g   n - 3 x c o s e c 2   x   c o t g x d x

Fazendo agora a integral

∫ n - 2 c o t g   n - 3 x c o s e c 2   x   c o t g x d x = - ( n - 2 ) ∫   c o t g n - 2   x c o s e c 2   x d x

Passo 3

Logo ficamos com a integral completa

∫ c o t g   n - 2 x c o s e c 2 x - ∫ c o t g   n - 2 x   d x =

- c o t g   n - 1 - ( n - 2 ) ∫   c o t g n - 2   x c o s e c 2   x d x

Onde

c o t g 2 x + 1 = c o s e c 2 x

∫ c o t g   n - 2 x c o t g 2 x + 1 - ∫ c o t g   n - 2 x   d x =

- c o t g   n - 1 - ( n - 2 ) ∫   c o t g n - 2   x ( c o t g 2 x + 1 )   x d x

Simplificando

∫ c o t g   n x d x + ∫ c o t g   n - 2 x d x - ∫ c o t g   n - 2 x   d x =

- c o t g   n - 1 - ( n - 2 ) ∫ c o t g   n x d x - ( n - 2 ) ∫ c o t g   n - 2 x   d x

Passando + ( n - 2 ) ∫ c o t g   n x d x para o outro lado

∫ c o t g   n x d x + ( n - 2 ) ∫ c o t g   n x d x = ∫ ( n - 1 ) c o t g   n x d x

Logo temos

∫ c o t g   n x d x = - c o t g   n - 1 n - 1 - n - 2 n - 1 ∫ c o t g   n - 2 x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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